12.Sınıf Matematik Konu Anlatımı | Matris ve Determinant

Frank Woods

Tecrübeli Üye
Konu Sahibi
Katılım
2 Nisan 2011
Mesajlar
8,075
Reaksiyon puanı
21
Puanı
259
Konum
Ankara
12.Sınıf Matematik Matris ve Determinant Konu Anlatımı oku, ara.

[TABLE="width: 98%, align: center"]
[TR]
[TD]A. MATRİSİN TANIMI
30_Mat1.gif

şeklinde, bir cismin elemanlarının sıralı bir tablosuna m ´ n türünde
(m tane satır ve n tane sütun) bir
matris denir.
Matrisler büyük harfle gösterilir. Tablodaki yatay sıralara satır, düşey sıralara sütun adı verilir.
30_Mat2.gif

elemanları, A matrisinin 1. satırını oluşturmaktadır.
30_Mat3.gif

elemanları, A matrisinin 3. sütununu oluşturmaktadır.
Burada a[SUB]ij[/SUB] genel terimi gösterir. i, satır numarası ve j, sütun numarasıdır.
Bu matrisin m kadar satırı, n kadar sütunu vardır.

B. MATRİS ÇEŞİTLERİ
1. Sıfır Matrisi
Bütün elemanları sıfır olan matrise sıfır matrisi denir.

2. Kare Matrisi
30_Mat4.gif

Satır ve sütun sayısı eşit olan matrise kare matris denir.
A matrisi (4 ´ 4 boyutlu) 4 satırlı ve 4 sütunlu bir kare matristir.

3. Birim Matris
30_Mat5.gif

Bütün köşegen elemanları 1 ve diğer bütün elemanları sıfır olan kare matrislere birim matris denir ve birim matris I harfi ile gösterilir. Yandaki matris 4 ´ 4 boyutlu birim matristir.

C. MATRİSLERİN EŞİTLİĞİ
Aynı türden iki matrisin, bütün aynı indisli terimleri eşit ise, bu matrisler eşittir. Bu ifadenin tersi de doğrudur. Yani, eşit iki matrisin, aynı indisli bütün terimleri eşittir.

D. MATRİSİN DEVRİĞİ (TRANSPOZU)
Bir matrisin devriği (transpozu) satırların sütun, sütunların satır haline getirilmesiyle elde edilen matristir.
Bir A matrisinin transpozu A[SUP]T[/SUP] ya da A[SUP]d[/SUP] biçimlerinden biri ile gösterilebilir.
30_Mat6.gif


E. MATRİSİN REEL SAYI İLE ÇARPIMI
Bir matris c gibi bir sayı ile çarpılınca matrisin bütün elemanları c ile çarpılır.
30_Mat7.gif


F. MATRİSLERİN TOPLAMI
Aynı türden matrisler toplanır. Bunun için, aynı indisli terimler toplanır.
30_Mat8.gif


G. MATRİSLERİN FARKI
Aynı türden matrisler çıkarılır. Bunun için, aynı indisli terimler çıkarılır.
30_Mat9.gif

Özellik
[TABLE="width: 89%"]
[TR]
[TD="width: 73%"] 1. A + B = B + A (Değişme özelliği vardır.)
2. A + (B + C) = (A + B) + C (Birleşme özelliği vardır.)
3. A + O = O + A = A (Sıfır matrisi toplamaya göre birim (etkisiz) elemandır.)
4. A + ('A) = O ('A matrisi A matrisinin toplamaya göre tersidir.)
5. (A + B)[SUP]T[/SUP] = A[SUP]T[/SUP] + B[SUP]T[/SUP]
6. (A ' B)[SUP]T[/SUP] = A[SUP]T[/SUP] ' B[SUP]T[/SUP]
7. k × (A + B) = k × A + k × B
30_Mat10.gif

8. k × (A ' B) = k × A ' k × B
30_Mat10.gif

9. (k + p) × A = k × A + p × A
30_Mat11.gif

10. k × (p × A) = (k × p) × A
30_Mat11.gif
[/TD]
[/TR]
[/TABLE]








H. İKİ MATRİSİN ÇARPIMI
A ve B matrislerinin çarpılabilmesi için A matrisinin sütun sayısı,
B matrisinin satır sayısına eşit olmalıdır.

m ´ n türünde A matrisi ile n ´ p türünde B matrisinin çarpımı m ´ p türünde olur.
Çarpma işlemi birinci matrisin satırları ile ikinci matrisin sütunları çarpılıp toplanarak yapılır.

Özellik
[TABLE="width: 89%"]
[TR]
[TD="width: 73%"] 1. A × B ¹ B × A (Değişme özelliği yoktur. Ancak bazı özel durumlarda eşitlik olabilir.)
A × I = I × A
A[SUP]m[/SUP] × A[SUP]n[/SUP] = A[SUP]m + n[/SUP]
A[SUP]'1[/SUP] × A = A × A[SUP]'1[/SUP]
2. A × (B × C) = (A × B) × C (Birleşme özelliği vardır.)
3. A × (B + C) = A × B + A × C
(B + C) × A = B × A + C × A
Çarpma işleminin toplama işlemi üzerine sağdan ve soldan dağılma özelliği vardır.
4. A × B = O ise A = O veya B = O olması gerekmez.
5. A × I = I × A = A (I matrisi çarpmaya göre etkisiz elemandır.)
6. A × B = B ise A = I olması gerekmez.
7. (A × B)[SUP]T[/SUP] = B[SUP]T[/SUP] × A[SUP]T[/SUP]
(A × B × C)[SUP]T[/SUP] = C[SUP]T[/SUP] × B[SUP]T[/SUP] × A[SUP]T[/SUP]
[/TD]
[/TR]
[/TABLE]








I. KARE MATRİSİN KUVVETİ
A bir kare matrisi I birim matris ve m, n pozitif tam sayı olmak üzere, matrisin kuvveti aşağıdaki biçimde ifade edilir.
30_Mat12.gif

Ayrıca,
30_Mat13.gif

olur.
Birim matrisin bütün kuvvetleri yine birim matristir.
30_Mat14.gif

Kural
[TABLE="width: 89%"]
[TR]
[TD="width: 73%"]2 × 2 boyutundaki bazı özel matrislerin büyük kuvvetleri karşımıza çıkabilir.
Bu özel durumların başlıcaları şunlardır:
30_Mat15.gif

30_Mat16.gif

[/TD]
[/TR]
[/TABLE]








J. MATRİSİN DETERMİNANTI
Determinant, kare matrisleri bir sayıya eşleyen fonksiyondur.
Determinant fonksiyonunun, kare matrisi eşlediği o sayıya matrisin determinantı denir.
A matrisinin determinantı, detA veya |A| biçiminde gösterilir.
|A|, matrislerde mutlak değer anlamına gelmez. |A| sıfır veya negatif de olabilir.

Kural
[TABLE="width: 89%"]
[TR]
[TD="width: 73%"]
30_Mat17.gif
30_Mat18.gif
Türü ne olursa olsun, birim matrisin determinantı 1 dir.
[/TD]
[/TR]
[/TABLE]








1. Sarrus Kuralı
A = [a[SUB]ij[/SUB]][SUB]3×3[/SUB] biçimindeki matrislerin determinantını bulmak için Sarrus kuralı kullanılır.
30_Mat19.gif

3 ´ 3 türündeki bir matrisin determinantı şöyle bulunur:
1. İlk iki satır sırasıyla alta birer defa daha yazılır.
2. Köşegeni oluşturan a[SUB]11[/SUB], a[SUB]22[/SUB], a[SUB]33[/SUB] çarpılır; çarpım sağa yazılır.
3. Köşegenin hemen altındaki a[SUB]21[/SUB], a[SUB]32[/SUB], a[SUB]13[/SUB] çarpılır; çarpım sağa yazılır.
4. Aynı yaklaşımla a[SUB]31[/SUB], a[SUB]12[/SUB], a[SUB]23[/SUB] çarpılır; çarpım sağa yazılır.
5. Sağa yazılan üç çarpımın toplamı T[SUB]1[/SUB] olsun
6. Diğer köşegeni oluşturan a[SUB]13[/SUB], a[SUB]22[/SUB], a[SUB]31[/SUB] çarpılır; çarpım sola yazılır.
7. Diğer köşegenin hemen altındaki a[SUB]23[/SUB], a[SUB]32[/SUB], a[SUB]11[/SUB] çarpılır; çarpım sola yazılır.
8. Aynı yaklaşımla a[SUB]33[/SUB], a[SUB]12[/SUB], a[SUB]21[/SUB] çarpılır; çarpım sola yazılır.
9. Sola yazılan üç çarpımın toplamı T[SUB]2[/SUB] olsun,
30_Mat20.gif

10. A matrisinin determinantı: detA = T[SUB]1[/SUB] ' T[SUB]2[/SUB] dir.

2. İşaretli Minör (Kofaktör)
Bir kare matriste a[SUB]ij[/SUB] elemanının minörü M[SUB]ij[/SUB] olsun.
a[SUB]ij[/SUB] elemanının işaretli minörü (kofaktörü):
[SUB]
30_Mat21.gif
[/SUB]
Kural
[SUB][TABLE="width: 89%"]
[TR]
[TD="width: 73%"]
30_Mat24.gif
matrisi verilsin.
Bir matrisin determinantı, bu matrisin herhangi bir satır veya sütun elemanları ile bu elemanların işaretli minörlerinin çarpımlarının toplamına eşittir.
i. satıra göre determinant:
30_Mat22.gif

j. sütuna göre determinant:
30_Mat23.gif

[/TD]
[/TR]
[/TABLE]






[/SUB]

3. Determinantın Özellikleri
Özellik
[TABLE="width: 89%"]
[TR]
[TD="width: 73%"]
30_Mat18.gif
Bir satır veya bir sütunun tüm elemanları sıfır olan matrislerin determinantı sıfırdır.

30_Mat18.gif
Herhangi iki satır veya iki sütunun elemanları eşit olan matrisin determinantı sıfırdır.
30_Mat18.gif
Herhangi iki satır veya iki sütunun elemanları orantılı olan matrisin determinantı sıfırdır.
30_Mat18.gif
Herhangi iki satır veya iki sütunun yerleri değişirse determinantının işareti değişir.
30_Mat18.gif
Bir kare matrisin determinantı ile transpozunun determinantı eşittir.
30_Mat18.gif
Kare matrislerin çarpımlarının determinantı, bu matrislerin determinantları çarpımına eşittir.
det(A × B) = detA × detB
30_Mat18.gif
Bir kare matrisin kuvvetinin determinantı, determinantının kuvvetine eşittir.
detA[SUP]n[/SUP] = (detA)[SUP]n[/SUP]
30_Mat18.gif
Bir kare matrisin çarpmaya göre tersinin determinantı, determinantının tersine eşittir.

30_Mat25.gif

30_Mat18.gif
A = [a[SUB]ij[/SUB]|[SUB]m×n[/SUB] matrisinin k ile çarpımının determinantı,
A nın determinantının k[SUP]n[/SUP] ile çarpımına eşittir.
30_Mat26.gif

30_Mat18.gif
Bir kare matrisin bir satır ve bir sütunun tüm elemanları
k ile çarpılırsa, elde edilen matrisin determinantı ilk matrisin determinantının k ile çarpımına eşittir.
30_Mat18.gif
Bir matrisin herhangi bir satırını k ile çarpıp diğer bir satıra ekleyince veya herhangi bir sütununu k ile çarpıp diğer bir sütuna ekleyince determinantının değeri değişmez.
30_Mat18.gif
Sadece bir satır veya bir sütun elemanları farklı olan matrislerin determinantları toplamı, diğer satır veya sütunları aynı olan ve farklı sütunu farklı sütunların toplamı kadar olan yeni matrisin determinantına eşittir.
[/TD]
[/TR]
[/TABLE]








K. EK MATRİS (ADJOİNT MATRİS)
Bir matrisin elemanları yerine, o elemanların işaretli minörlerinin yazılıp transpozu alınarak elde edilen matrise ek matris denir ve Ek(A) biçiminde gösterilir.
30_Mat27.gif


L. BİR MATRİSİN ÇARPMA İŞLEMİNE GÖRE TERSİ
a = [A[SUB]ij[/SUB]][SUB]m×m[/SUB] biçimindeki kare matrislerin, çarpmaya göre tersini A[SUP]'1[/SUP] biçiminde gösteririz.
Determinantı sıfırdan farklı matrislerin tersi vardır.
30_Mat28.gif

Kural
[TABLE="width: 89%"]
[TR]
[TD="width: 73%"]
30_Mat29.gif
[/TD]
[/TR]
[/TABLE]







Özellik
[TABLE="width: 89%"]
[TR]
[TD="width: 73%"]
30_Mat30.gif
[/TD]
[/TR]
[/TABLE]




FavoriForumum.Net

[/TD]
[/TR]
[/TABLE]



En son aramalar: matris ve determinant konu anlatımı, matris ve determinant sunusu, matris ve determinant, matris ve determinant 11.sınıf, matris ve determinant 12.sınıf, geometri konu anlatımı, 9.sınıf matematik,9.sınıf matematik konu anlatımı, 12. sınıf matris ve determinant, 12.sınıf matematik,ygs-lys matematik soruları, lys matris ve determinant soruları, lys 2011 matematik soruları,lys matematik 2011, matris ve determinant sunuları,9.sınıf matematik soruları,10.sınıf matematik konu anlatımı,liner cebir konu anlatımı, matematik yazılı soruları,9.sınıf matematik yazı soruları oku, ygs-lys hazırlık matematik soru bankası indir, matematik konu anlatımlı videolar, tüm ders kitapları, ders kitabı cevapları, matematik kitabı çözümleri
 
Son düzenleme:
valla bu sene LYS de 2 tane çıktı pek takmamıştım çıkmaz diye o kadar türev , integral yaptım bu kolay konuyu yapamadım :(
 
matrisi metris diye okudum la asdfasdf.valla kışkırtmak için değil cidden metris diye okudum.